[Récit (presque) philosophique] L’hôtel de Hilbert et les paradoxes de l’infini

Djinnzz

Créateur et rédacteur d' EtaleTaCulture

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11 Réponses

  1. VH dit :

    Ayant fait des études scientifiques, je connaissais déjà cette métaphore des hôtels.
    Bien joué pour l’atmosphère mystique et d’en avoir fait une sorte de purgatoire (enfin si j’ai bien compris)

  2. Jen dit :

    J’aurais aimé les explications pour la partie « infinité d’infinités ».
    Les formules tombent de nulle part, c’est dommage car c’est la partie la plus intéressante

    • VH dit :

      C’est assez complexe à démontrer… Cela n’aurait pas sa place dans un site généraliste. par contre, j’ai fait une recherche sur Google et je n’ai rien trouvé rien non plus, ce qui est bizarre.
      Si un mathématicien chevronné pouvait en faire la démo ici, ça serait vraiment cool de sa part.

    • Djinnzz dit :

      C’est bien parce que c’est vous !

      explications-hotel-cantor

      J’ai fait ce petit schéma vite fait pour comprendre la logique de la répartition « en spirale ».
      Soit m le numéro de l’ancien hôtel
      Soit n le numéro de chambre dans cet hôtel (chaîne d’hôtels Cantor)
      Soit p le numéro de la chambre dans le nouvel hôtel (hôtel Hilbert)

      On comprend sur ce schéma que les numéros de chambre correspondant au carré d’un nombre (1, 4, 16, 25, 36, 41, 64, 81, 100, 121,…) sont réservés aux clients du Cantor 1.
      Donc, si m=1, p= n²

      Raisonnons maintenant à rebours :
      la chambre n²-1 est occupée par le client de l’hôtel Cantor 2
      n²-2 est occupée par le client de l’hôtel Cantor 3, etc…

      Vous voyez le principe ?

      En extrapolant, on obtient les formules données…

      (attention, il faut distinguer la partie « ascendante » de a partie « descendante » de la spirale ! C’est pour cela qu’il y a deux cas de figure : si m>n et si m < ou égal à n

      • Jen dit :

        Ok, merci.

        Je comprends le principe. Il fallait penser à la distribution en spirale… pas con.

      • pAsseMonT dit :

        Tu traites aussi facilement de l’Histoire que de la philo, de la mythologie que de peinture…
        Et maintenant tu fais aussi dans les maths ?

        Et en plus de vulgariser, tu sais aussi pousser les concepts un peu plus loin pour ceux qui peuvent suivre…

        C’est ma définition du génie !

        Bravo gars, j’adore ton site 🙂

      • Ethaniel dit :

        La bijection classiquement utilisée pour passer des hôtels Cantor à l’hôtel Hilbert utilise les anti-diagonales plutôt que les « spirales », la formule est moins biscornue et plus intuitive :
        • le client de Cantor 1 chambre 1 (C1.1) va en Hilbert 1 (H1) ;
        • les clients C1.2 et C2.1 vont respectivement en H2 et H3 ;
        • les clients C1.3, C2.2 et C3.1 vont respectivement en H4, H5 et H6 ;
        • … les clients C1.n à Cn.1 (ceux le la n-ième anti-diagonale, comptant n personnes) vont respectivement de H(m+1) à H(m+n), reste à déterminer m ;
        • Hm est occupée par C(n-1).1, le dernier client de la (n-1)-ième anti-diagonale, donc m=1+2+3+…+(n-1)=(n-1)×n/2 ;
        • donc le client Cx.y, c’est-à-dire le x-ième de la (x+y-1)-ième anti-diagonale, ira en H[(x+y-2)×(x+y-1)/2+x].

  3. Shinji dit :

    Merci pour le schéma. Mais une question vient maintenant naturellement…
    Quid d’une infinité de chaînes d’hôtels possédant chacune une infinité d’hôtels possédant chacun une infinité de chambres occupées par une infinité de clients ?

    Il n’y a aucune raison que cela soit impossible…

    Bon courage, vous avez deux heures 🙂

    • Djinnzz dit :

      Oui, c’est bien sûr possible. Il n’y a pas de raisons que cela ne le soit pas, comme tu le dis.

      Je crois que la solution fait appel aux nombres premiers, mais ça dépasse largement mon niveau en mathématiques…

    • Meaaaa dit :

      Une infinité d’infinités d’infinités ? C’est tordu !

    • Ethaniel dit :

      Ça fonctionne de la même manière, mais au lieu de partir du coin d’un carré (voir schéma du commentaire précédent) et de parcourir des spirales ou des anti-diagonales (voir ma réponse plus haut), on part du coin d’un cube (et là, réfléchir en terme de spirales devient bien coton, alors que parcourir les triangles anti-diagonaux reste très simple).
      On peut continuer à multiplier les infinis, il suffit de partir du coin d’un hypercube de dimension adéquate et de parcourir les hyperplans anti-diagonaux ;).

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