[Récit (presque) philosophique] L’hôtel de Hilbert et les paradoxes de l’infini

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Prélude

Le voyant rouge s’alluma sur mon tableau de bord. Par dépit, je frappai violemment le volant de ma vieille Clio. La pauvre n’y était pour rien mais merde, c’était pas le moment de me lâcher. J’avais 800 bornes dans les jambes et, à cet instant précis, mon corps tout entier n’aspirait plus qu’à une chose : retrouver mon lit et me blottir contre le corps de mon ami qui, vu l’heure tardive, devait dormir à poing fermé.

Plus que vingt bornes. C’est rien, vingt bornes. Il fallait juste que ma bagnole tienne. Il fallait juste que JE tienne.

Quelques secondes plus tard, la fatigue me fit piquer du nez. Me réveillant en sursaut, j’avais dû rectifier ma trajectoire au dernier moment.

Merde, merde, merde.

Mon volant fit une nouvelle fois les frais de ma colère. Je me mis à hurler à pleins poumons, cherchant au plus profond de moi l’énergie nécessaire pour tenir.

Tenir.
Tenir
Ten…

Mes paupières se firent de nouveau très lourdes.

Nouvel écart sur la route.

J’allumai la radio et fis défiler les stations pour trouver la musique la plus assourdissante qui soit, de celle capable de me tenir éveillé le plus longtemps possible. Je tombai sur Skyrock, et reconnus la voix de Maître Gims qui scandait un refrain débilisant.

Sapés comme jamais
Sapés comme jamais
Sapés comme jamais

Je souris en repensant au dernier article que j’avais publié sur mon blog sur mon « immersion » dans le rap français… Je choisis de garder Maître Gims. À cet instant précis, le chanteur m’apporta même un léger réconfort.

Sapés comme jamais
Sapés comme jamais
Sapés comme…

Et puis, il y eut un black-out.

Quand j’ouvris de nouveau les yeux, j’eus besoin de quelques secondes pour comprendre où j’étais. Un peu sonné, j’enlevai péniblement ma ceinture de sécurité puis tentai d’ouvrir la portière, sans succès. Je pris un peu de temps pour analyser la situation. Je compris que ma voiture était couchée sur le flanc, et qu’une forte odeur d’essence avait envahi l’habitacle. Il fallait que je sorte de là au plus vite.

Je réussis à m’extraire de la carcasse de tôles et d’acier par la vitre conducteur.

Une fois à l’air libre, j’auscultai mon corps et me rendis compte que, par miracle, j’étais indemne. À bien y réfléchir, je ne m’étais même jamais senti aussi bien. Était-ce une sensation normale quand on venait de frôler la mort?

Je sortis le téléphone portable de ma poche. Aucun réseau, évidemment. J’étais au beau milieu de la campagne par une nuit sans lune. Les lumières d’un village scintillaient au loin: je commençai ma longue marche vers le Salut.

À la rencontre de Hilbert

En fait d’un village, il s’agissait de deux hôtels qui se faisaient face, construits au milieu de nulle part. J’entrai dans le premier, le « Hilton », selon une énorme enseigne lumineuse accrochée au-dessus de la porte d’entrée.

La décoration était datée et l’ambiance poussiéreuse, mais je n’avais pas vraiment les moyens de faire la fine bouche. Un homme se tenait derrière le comptoir.

– Bienvenue au Hilton, Monsieur. Je suis le Veilleur. Mais malheureusement nous sommes complets, ce soir.
– Bonsoir. En fait, je ne veux pas de chambre… J’ai eu un accident de voiture un peu plus haut sur la route… Je pourrais passer un coup de téléphone ?

L’homme me regarda étrangement.

– Désolé, Monsieur, je ne vois pas de quoi vous voulez parler.
– Je vous dis que j’ai eu un accident. Je voudrais téléphoner!
– Ne vous énervez pas, Monsieur. Il n’y a pas de téléphone dans la région, je pensais que vous le saviez.
– Il n’y a pas de téléphone? Et vos clients, ils font comment, pour réserver?
– Oh, Monsieur… Nous ne sommes pas le genre d’établissement qui prend les réservations…

Le Veilleur poursuivit.

– Le mieux pour vous serait de prendre une chambre. Les nuits sont parfois longues, par ici.
– Mais vous m’avez dit que vous étiez complets…
– Oui, je vois que Monsieur a bonne mémoire. Ici, nous sommes complets, comme je vous l’ai déjà dit. Nous n’avons que cent chambres, ce qui est peu pour la région.
– Cent chambres? Mais on est au milieu de nulle part!
– C’est bien cela le problème, Monsieur. Je vous propose de vous rendre au Hilbert, c’est l’hôtel de l’autre côté de la rue. Vous ne pouvez pas vous tromper. Ils drainent toute la clientèle, ici. Si vous voulez mon avis, c’est même de la concurrence absolument déloyale.
– Bien, bien… Je vous remercie.
– Ce fut un plaisir, Monsieur. Mais je ne fais que mon travail de Veilleur. Au revoir, Monsieur.

Je sortis de l’établissement, un peu sonné, et me rendis sans tarder au Hilbert Hôtel.

– Bonsoir Monsieur, je suis le Veilleur. Que puis-je pour vous ?
– Eh bien… j’ai eu un accident de la route à quelques kilomètres d’ici, mais j’imagine que vous allez me dire que vous n’avez pas de téléphone?
– Vous êtes bien renseigné, Monsieur.
– Bon. Dans ce cas, donnez-moi une chambre… Je verrai bien demain matin.
– C’est que nous sommes complets, Monsieur.
– Quoi, vous aussi? Mais vous avez combien de chambre, ici?
– Une infinité, Monsieur.
– Une infinité?
– Comme je vous le dis, Monsieur.
– Je ne comprends pas.
– C’est bien simple. Prenez n’importe quel numéro de chambre, aussi grand soit-il. Eh bien mon hôtel disposera toujours d’une chambre après celle-ci.
– Euh…
– Vous êtes un être humain, n’est-ce pas?
– Euh… Oui.
– C’est sans doute pour cela, les être humains ont du mal avec le concept d’infini. Donnez-moi un nombre, un très grand nombre.
– Je ne sais pas, moi, 15.567?
– Non, non, voyez grand, beaucoup plus grand!
– Euh… 1.523.674?
– C’est mieux, déjà. Eh bien figurez-vous que la chambre n°1.523.674 existe. Et que nous avons aussi une chambre n°1.523.675.
– Vous voulez me dire que vous avez plus d’un million et demi de chambres?
– Non, Monsieur, nous en avons une infinité. Vous m’auriez dit 1.234.856.795, je vous aurais répondu de la même façon. Et ainsi de suite. Quel que soit le nombre n que vous me donnerez, il existe une chambre n+1. C’est la définition même du concept d’infinité.
– Mais… Vous venez de me dire que vous étiez complets! Vous vous moquez de moi?
– Un Veilleur ne se permettrait jamais de se moquer de ses clients, Monsieur. Oui, nous sommes complets, je vous le répète.
– Mais comment est-ce possible, si vous avez une infinité de chambres!
– C’est que nous avons aussi une infinité de clients… Absolument toutes nos chambres sont occupées: aussi grand soit le numéro de chambre n que vous choisissez, elle est occupée par un de mes clients.

Je commençai à peine à comprendre la logique du lieu.

– Monsieur le Veilleur, si vous avez une infinité de clients comme vous me l’affirmez, vous n’êtes plus à un client près… Il vous sera donc facile de me trouver une chambre, non?
– Mais je n’ai jamais dit le contraire, Monsieur! Les clients de cet hôtel, même s’ils n’apprécient pas beaucoup d’être réveillés en pleine nuit, sont très collaboratifs. Il suffit que je leur demande à tous de se décaler d’une chambre vers la droite, et la chambre n°1 sera libre pour vous.
– Je vois. L’occupant actuel de la chambre n°1 ira dans la chambre n°2, celui de la n°2 dans la n°3… et ainsi de suite.
– Monsieur comprend vite!
– Merci. D’une façon générale, l’occupant de la chambre n se déplacera dans la chambre n+1.
– Voilà! Laissez-moi une seconde que je fasse l’annonce dans le haut-parleur…
– Je comprends mieux pourquoi le Veilleur du Hilton me disait que vous étiez un concurrent déloyal… Le pauvre n’a que cent chambres, lui!
– C’est vrai qu’il a fait des réclamations auprès de l’Instance Supérieure à plusieurs reprises…
– L’Instance Supérieure? De qui s’agit-il? Le ministère du Commerce et de l’Industrie? La DGCCRF?
– Oh, je crois que je ne peux pas vous en dire plus à ce sujet, Monsieur, je suis désolé.
– Ah?
– Mais je vois que vous avez l’esprit vif… pour un terrien, j’entends.

« Pour un terrien » ? Je décidai de ne pas relever, mon interlocuteur ayant visiblement une case en moins.

– Merci. Je commence à être fatigué… Pouvons-nous en finir?
– Oui, bien sûr Monsieur… Mais j’aurais pensé que vous vouliez en savoir plus sur ce lieu.

Ce satané fou réussit une nouvelle fois à aiguiser ma curiosité.

– J’ai l’impression que votre hôtel recèle plein de mystères, en effet…
– Je pense que Monsieur a compris que, si 10, 100 ou 1000 clients se présentaient au comptoir, cela ne me poserait aucun problème: il suffirait que chaque client se décale de 10, 100 ou 1000 numéros de chambres pour leur laisser un nombre de chambres vacantes suffisant.
– Oui, cela semble assez logique.
– Mais mettez-vous à ma place une minute et réfléchissez: comment feriez-vous si vous aviez une infinité de voyageurs qui vous réclamaient une chambre?
– Je vois, cela poserait problème: on ne peut pas demander aux clients présents de se décaler d’une « infinité » de chambres… C’est impossible!

Après quelques instant de réflexion, je poursuivis:

– Mais dites-moi, tout cela est purement théorique, n’est-ce-pas?
– Détrompez-vous, Monsieur! Cette situation est déjà arrivée plusieurs fois! Et j’ai toujours honoré la devise de mon établissement: « Venez aussi nombreux que vous le souhaitez, nous aurons toujours une place pour vous! »
– Ce problème me semble pourtant insoluble…
– Je ne suis pas censé vous donner touts mes secrets, mais vous m’êtes sympathique, alors je vais vous le dire… La réponse vous semblera tellement simple que vous vous en voudrez de ne pas l’avoir trouvée par vous-même, j’en suis sûr.
– Dites toujours…
– Il suffit que le client de la chambre n°1 aille dans la chambre n°2, que le client de la n°2 aille dans la n°4, que celui de la n°3 aille dans la n°6, que celui de la chambre n°4 aille dans la n°8…
– Mais oui, bien sûr!
– Vous voyez, je vous l’avais dit!
– En fait, le client de la chambre n doit aller dans la chambre 2n ! Ainsi, les chambres 2, 4, 6, 8, 10, 12,… seront occupées, et les chambres 1, 3, 5 , 7, 9, 11,… seront libres!
– Exactement! Dis autrement, les clients déjà présents vont dans les chambres paires, et les nouveaux arrivants vont dans les chambres impaires.
– Et comme il existe une infinité de nombres pairs et une infinité de nombres impairs, vous pouvez bien caser les deux infinités dans une seule!
– Voilà. Je suis le Veilleur. Je suis génial.
– Haha ! Et vous êtes modeste, en plus. Ça me plaît.
– Merci, Monsieur. Monsieur est-il maintenant disposé à aller dans sa chambre?

Le Veilleur joignit le geste à la parole et fit l’annonce sur le système de haut-parleurs de l’hôtel, demandant à chacun de se décaler d’une chambre.

– Voilà qui est fait, Monsieur. Votre chambre sera bientôt prête.

Je pris quelques secondes de réflexion… J’avais grandement envie de prendre le Veilleur à son propre piège.

– Attendez une minute!
– Monsieur?
– J’ai un problème pour vous, à mon tour!
– J’adore les problèmes, Monsieur. Mais sachez que j’en trouve toujours les solutions.
– Imaginez que la fameuse Instance Supérieure dont vous m’avez parlé décide un jour de transformer le Hilbert Hôtel en une chaîne possédant une infinité d’hôtels, chaque hôtel disposant lui-même d’une infinité de chambres occupées par une infinité de clients…
– Vous voulez sans doute parler des Cantor Hôtels?
– Hein? Euh… comment ça?
– Eh bien la chaîne d’hôtels dont vous parlez existe déjà, Monsieur. Il s’agit des Cantor Hôtels. Ce sont nos principaux concurrents.
– Alors là, je suis perdu. Comment se fait-il que de tels miracles existent sans que je n’en ai jamais entendu parler?
– Rassurez-vous, Monsieur, tous nos clients ont ce genre de questionnements quand ils découvrent cet Endroit. Mais vous verrez, vous vous y ferez vite.
– Vous me dites que cette chaîne possédant une infinité d’hôtels possédant une infinité de chambres occupées par une infinité de clients existe… Je veux bien vous croire. Alors répondez à ma question…
– Je vous écoute, Monsieur.
– Imaginez que, suite à une faillite, le patron de la chaîne soit obligé de fermer TOUS ses hôtels. Comment arriveriez-vous à loger tous les clients ainsi expulsés dans votre hôtel?
– Je vois. Vous me demandez, en somme, comment reloger une infinité d’infinités de personnes. Pensez-vous que cela soit possible?
– C’est à vous que je le demande!
– Eh bien oui, bien sûr, c’est possible. Même si, je dois l’avouer, ce cas de figure n’est jamais arrivé.

Le Veilleur prit quelques secondes de réflexion.

– Accrochez-vous, car cela demande une analyse mathématique assez poussée. Supposons que mon hôtel soit vide, et prenons un client des Cantor Hôtels à reloger au hasard. Le but est de lui trouver quel numéro de chambre il devra occuper dans mon hôtel. Supposons que ce client provienne de l’hôtel Cantor numéro m où il occupait la chambre numéro n. Si n est supérieur à m, il devra occuper la chambre m²-n+1. Au contraire, si n est inférieur ou égal à m, alors il devra occuper la chambre (m-1)²+n.
– Vous pensez peut-être que je vais vous croire sur parole ?
– Il faudra vous contenter de cela pour le moment, j’en ai bien peur… Il se fait tard et je suis fatigué.
– Bien… Je réfléchirai moi-même à ce problème.
– Voilà une sage décision, Monsieur.

Le Veilleur marqua un temps d’arrêt avant de reprendre:

– Êtes-vous maintenant prêt à prendre votre chambre?

Si j’étais « prêt »? Quelle étrange question…

– Oui, merci pour cette conversation très intéressante. Je vais rester une nuit… Je vous dois combien?
– Le séjour est gratuit, Monsieur. Vous pensez bien que si nous faisions payer nos clients, même une somme ridiculement faible, nous serions très vite infiniment riches.
– Mais oui, bien sûr, comment n’y ai-je pas pensé…
– Vous voyez, vous vous faites déjà à la logique du lieu. Vous verrez, vous serez bien ici.
– Merci. Donc j’ai la chambre n°1, si j’ai bien compris?
– Exactement, Monsieur. Mais il y a une chose que je dois vous dire avant de vous donner la clef…
– Oui ? Je pense que, vu où nous en sommes, plus grand chose ne m’étonnera.
– Eh bien… les séjours d’une nuit sont impossibles ici, Monsieur. Nous n’acceptons les clients que pour… l’éternité.
– Je vois. Je commence à y voir plus clair.
– C’est bien, Monsieur.
– Pensez-vous que je puisse parler à l’Instance Supérieure, un jour?
– Un jour, peut-être. Vous savez, Il est très occupé.
– Je vois.
– Je vous souhaite un bon séjour dans notre établissement.

Je pris la clef que le Veilleur me tendit et me dirigeai vers la chambre n°1, à quelques pas du comptoir. Alors que je m’apprêtai à ouvrir la porte, je me tournai une dernière fois vers le Veilleur.

– Y a-t-il d’autres surprises, derrière cette porte ?
– Je le crains, Monsieur.

Une bouffée d’émotions me prit à la gorge. Je pensai à mon ami que je ne reverrai plus jamais. À ma mère, aussi, à qui je n’avais pas pu dire au revoir. Et à tous ceux que j’aimais et qui me manquaient déjà.

– Les reverrai-je un jour?
– Les lieux sont grands, Monsieur…
– Je vois.

Je tournai la poignée et fus happé par une lumière aveuglante…

FIN !
(ou n’est-ce que le début… ?)

Pour aller plus loin

Cette étrange histoire d’hôtels, même si je l’ai mise en scène à ma façon, je ne l’ai pas inventée! C’est le mathématicien allemand David Hilbert (1862 – 1943) qui s’en servait souvent au cours de ses conférences pour illustrer les propriétés contre-intuitives des ensembles infinis.
Georg Cantor, autre mathématicien allemand (1845 – 1918) fut quant à lui le premier à aborder la notion « d’infinités d’infinis », tout en ouvrant ses travaux, purement mathématiques, aux débats philosophiques.

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12 Réponses

  1. VH dit :

    Ayant fait des études scientifiques, je connaissais déjà cette métaphore des hôtels.
    Bien joué pour l’atmosphère mystique et d’en avoir fait une sorte de purgatoire (enfin si j’ai bien compris)

  2. Jen dit :

    J’aurais aimé les explications pour la partie « infinité d’infinités ».
    Les formules tombent de nulle part, c’est dommage car c’est la partie la plus intéressante

    • VH dit :

      C’est assez complexe à démontrer… Cela n’aurait pas sa place dans un site généraliste. par contre, j’ai fait une recherche sur Google et je n’ai rien trouvé rien non plus, ce qui est bizarre.
      Si un mathématicien chevronné pouvait en faire la démo ici, ça serait vraiment cool de sa part.

    • Djinnzz dit :

      C’est bien parce que c’est vous !

      explications-hotel-cantor

      J’ai fait ce petit schéma vite fait pour comprendre la logique de la répartition « en spirale ».
      Soit m le numéro de l’ancien hôtel
      Soit n le numéro de chambre dans cet hôtel (chaîne d’hôtels Cantor)
      Soit p le numéro de la chambre dans le nouvel hôtel (hôtel Hilbert)

      On comprend sur ce schéma que les numéros de chambre correspondant au carré d’un nombre (1, 4, 16, 25, 36, 41, 64, 81, 100, 121,…) sont réservés aux clients du Cantor 1.
      Donc, si m=1, p= n²

      Raisonnons maintenant à rebours :
      la chambre n²-1 est occupée par le client de l’hôtel Cantor 2
      n²-2 est occupée par le client de l’hôtel Cantor 3, etc…

      Vous voyez le principe ?

      En extrapolant, on obtient les formules données…

      (attention, il faut distinguer la partie « ascendante » de a partie « descendante » de la spirale ! C’est pour cela qu’il y a deux cas de figure : si m>n et si m < ou égal à n

    • Jen dit :

      Ok, merci.

      Je comprends le principe. Il fallait penser à la distribution en spirale… pas con.

    • pAsseMonT dit :

      Tu traites aussi facilement de l’Histoire que de la philo, de la mythologie que de peinture…
      Et maintenant tu fais aussi dans les maths ?

      Et en plus de vulgariser, tu sais aussi pousser les concepts un peu plus loin pour ceux qui peuvent suivre…

      C’est ma définition du génie !

      Bravo gars, j’adore ton site 🙂

    • Ethaniel dit :

      La bijection classiquement utilisée pour passer des hôtels Cantor à l’hôtel Hilbert utilise les anti-diagonales plutôt que les « spirales », la formule est moins biscornue et plus intuitive :
      • le client de Cantor 1 chambre 1 (C1.1) va en Hilbert 1 (H1) ;
      • les clients C1.2 et C2.1 vont respectivement en H2 et H3 ;
      • les clients C1.3, C2.2 et C3.1 vont respectivement en H4, H5 et H6 ;
      • … les clients C1.n à Cn.1 (ceux le la n-ième anti-diagonale, comptant n personnes) vont respectivement de H(m+1) à H(m+n), reste à déterminer m ;
      • Hm est occupée par C(n-1).1, le dernier client de la (n-1)-ième anti-diagonale, donc m=1+2+3+…+(n-1)=(n-1)×n/2 ;
      • donc le client Cx.y, c’est-à-dire le x-ième de la (x+y-1)-ième anti-diagonale, ira en H[(x+y-2)×(x+y-1)/2+x].

  3. Shinji dit :

    Merci pour le schéma. Mais une question vient maintenant naturellement…
    Quid d’une infinité de chaînes d’hôtels possédant chacune une infinité d’hôtels possédant chacun une infinité de chambres occupées par une infinité de clients ?

    Il n’y a aucune raison que cela soit impossible…

    Bon courage, vous avez deux heures 🙂

    • Djinnzz dit :

      Oui, c’est bien sûr possible. Il n’y a pas de raisons que cela ne le soit pas, comme tu le dis.

      Je crois que la solution fait appel aux nombres premiers, mais ça dépasse largement mon niveau en mathématiques…

    • Meaaaa dit :

      Une infinité d’infinités d’infinités ? C’est tordu !

    • Ethaniel dit :

      Ça fonctionne de la même manière, mais au lieu de partir du coin d’un carré (voir schéma du commentaire précédent) et de parcourir des spirales ou des anti-diagonales (voir ma réponse plus haut), on part du coin d’un cube (et là, réfléchir en terme de spirales devient bien coton, alors que parcourir les triangles anti-diagonaux reste très simple).
      On peut continuer à multiplier les infinis, il suffit de partir du coin d’un hypercube de dimension adéquate et de parcourir les hyperplans anti-diagonaux ;).

  4. Nicolas dit :

    Bonjour,
    Merci et bravo pour ce très joli article!

    Deux remarques:
    a) Il faut faire une petite correction dans la formule originale pour que ça marche:
    « Si n est supérieur à m, il devra occuper la chambre n²-m+1 » (et non m²-n+1).

    b) « Quid d’une infinité de chaînes d’hôtels possédant chacune une infinité d’hôtels possédant chacun une infinité de chambres occupées par une infinité de clients ? »

    J’ai une autre solution, en deux étapes:
    1. Commencer par reloger tous les clients d’une même chaîne d’hôtels dans un seul hôtel. (On sait déjà comment faire!)
    Il ne reste alors plus qu’un seul hôtel par chaîne, donc une « simple infinité » d’hôtels en tout.
    2. Reloger tous ces clients dans l’hôtel Hilbert, selon la méthode déjà éprouvée.

    En bref, il suffit de répéter deux fois le processus. Et du coup, on voit qu’on peut généraliser ce raisonnement à des situations encore plus compliquées, en répétant le processus autant de fois que nécessaire.

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