La loi de Benford vous empêche de frauder en toute liberté

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15 Réponses

  1. Klaraq dit :

    Je trouve que vous n’avez pas insisté sur les limitations de cette loi. Par exemple, si vous prenez les notes d’un bulletin d’un bon élève, le pourcentage du 1 s’approche fortement 100% (en admettant qu’il ait la moyenne dans quasi toutes les matières).
    En réalité, il faut que la répartition soit réellement aléatoire.

    Et la raison pour laquelle si un cerveau humain dresse une liste aléatoire de nombres la loi de Benford n’est pas appliquée, c’est simplement parce que le cerveau humain n’est pas capable de générer un vrai tirage aléatoire. Un algorithme peut donc facilement déterminer s’il y a fraude on non.

    • toup dit :

      Il existe effectivement des limites à la loi de Newcomb-benford.
      Cependant, la distribution des nombres dans votre exemple est de fait faussée parla césure à la note maximale (20). C’est-à-dire qu’il faudrait raisonner sur les seconds chiffres non nuls en utilisant la loi généralisée.

  2. Charybde dit :

    Woaw fascinant :O
    Merci pour avoir illuminé ma pause café (enfin plutot mon déjeuner ce qui en soit est une pause dans ma nuit)

    Et je rassure tout le monde, pas besoin d’être bac+12 pour comprendre cet aperçu de démo 😀 [Aucune idée du niveau en France mais avoir fait une année ou deux d’université en Belgique aide quand meme grandement a comprendre :p]

  3. BenfordSceptique dit :

    C’est vraiment TRES étonnant ce résultat.
    Même si j’imagine que la démonstration mathématique tient la route, je n’arrive pas à me l’expliquer. Pourquoi, si une liste de nombres est générée aléatoirement, y aurait-il plus de 5 que de 7? Plus de 1 que de 3?
    Très très bizarre ce truc…

    • Pat dit :

      Et pourtant…

    • Paul dit :

      Hello, justement, les nombres ne sont pas générés « aléatoirement », avec une suite de nombres aléatoires, la loi de Benford ne marche pas, et tu auras bien tes « 11% » pour chacun.
      Ton ticket de caisse, la taille des fleuves etc. ne sont pas aléatoires mais répondent à des logiques financière et physique.
      Sans rentrer dans les détails, la démonstration explique que pour arriver à 6, tu passes par 1, 2, 3, 4 et 5. Or, on va dire qu’il y a une petite chance pour que tu « t’arrêtes » avant. Alors que pour aller à 1, tu « passes » par aucun autre nombre.

  4. Clic dit :

    La conclusion de l’article mentionné vous donne une réponse à votre question:

    « La loi de Benford est fascinante: elle défie l’intuition, et c’est quelque chose que vous pouvez tester vous-même et adapter à une activité en classe. Il s’agissait d’une curiosité, mais c’est maintenant un outil standard pour détecter les fraudes. Bien sûr, de plus en plus de fraudeurs en entendent parler. Mais faites attention: le premier chiffre n’est pas la seule chose à laquelle il faut faire attention. La loi de Benford généralisée permet de créer une loi pour le second chiffre, le troisième, etc. Vous pouvez essayez de le trouver vous-même: demandez-vous simplement dans quelles unions d’intervalles la mantisse d’un nombre doit être de sorte que son second chiffre soit i. »

    En gros, c’est contre-intuitif, et pour avoir fait beaucoup de maths dans ma jeunesse, je peux vous dire que l’intuition est le plus ennemi du mathématicien.
    La seule façon d’expliquer clairement ce résultat est de se plonger dans les maths, les probas, les logarithmes et les intégrales de fonctions. J’ai suivi en diagonale la démonstration proposée et elle m’a l’air rigoureuse.

    La remarque sur le deuxième, le troisième, etc. chiffre me fait bien plaisir: c’est immédiatement ce à quoi j’ai pensé en lisant l’article. Si une règle régit le premier chiffre non nul d’un nombre (qui s’appelle la mantisse), pourquoi n’y en aurait-il pas pour les autres chiffres?
    Par contre, la loi de Benford est très facilement contrable. Il suffit de générer une liste de nombres par Excel qui collent avec elle. Attention, faire générer une liste de nombres aléatoire par un programme informatique ne suffit pas (du moins, je pense) car l’impossibilité d’un programme informatique de générer un « vrai » nombre aléatoire a déjà été démontrée. (l’ « aléatoire » est une notion mathématique également complexe)

    D’ailleurs, une petite vérif pourrait être faite rapidement sur Excel: On génère une liste de nombres « aléatoires » avec la fonction rand(), puis on analyse la fréquence d’apparition du premier chiffre de chaque nombre.
    Si au final on est loin de la répartition théorique, cela prouve que la fonction rand d’Excel n’est pas si au point que ça…
    J’ai la flemme de le faire pour le moment, mais je testerai un jour où je me fais chier 😉

  5. RoiDesFous dit :

    En fait, malgré l’étrangeté de ce résultat, on peut trouver une explication trés logique á son existence. Ne vous laissez pas leurrer par l’apparente folie furieuse que semble reveter le déesse des maths en cette occasion

    (Oui, en prépa, on crée nos propres divinitées á vénérer, on en a bien besoin… D’ailleurs, Algorithma est extrémement capricieuse et cruelle: en dessous d’un nombre exponentiel d’heures de votre vie sacrifiées á l’étude de ses mystéres divins, elle ne vous accordera jamais ses faveurs et vous maudira de la terrible Tuaurajamaisplusdequatreatesinterros!!!, la malédiction la plus horrible que peut subir un étudiant…)

    si vous prenez le nombre 1, il faut y ajouter la totalité de sa valeur pour passer au nombre suivant, 2. á ce dernier il suffit d’ajouter la moité de sa valeur pour passer á 3… et etc, jusqu’á 9, auquel il suffit d’ajouter un neuviéme de sa valeur pour revenir á 1 ( bon, 10, mais le premier chiffre est 1).

    Pour un esprit physicien, ce serait comme dire: l’energie nécessaire pour quitter l’état « 9 », relativement á celle dont nous disposons déjá, est beaucoup plus faible que si nous étions dans l’état « 1 ». Donc l’état « 9 » a une durée de vie beaucoup plus faible que celle de l’état « 1 ». On l’aperçoit donc beaucoup plus rarement.

    En effet, même avec ce constat, la loi de Benford continue á ressembler á un spectacle de prestidigitation. Mais ce qui est vraiment fascinant et magique avec cette loi, c’est son universalité. Enfin bon, il y a une démonstration trés bonne donné dans cet article, je vous laisse la lire. Elle explique tout ça beaucoup mieux que moi.

    • Blanc dit :

      Oui, c’est super comme explication le coup du passage d’un chiffre à l’autre.
      Ca se traduit comme ça, non?

      i+1 = i + 1/i

      Merci !

      • Chambers dit :

        i + 1 = i + i/i

        • illys dit :

          Oui, ou pour mettre en évidence l’effort pour quitter i (sur une base 100) :
          (i + 1) = (i + i/i) = i + (100% / i) = i + (100/i)%

          Donc :
          – pour quitter 1, il faut un effort de 100/1 = 100
          – pour quitter 2, il faut un effort de 100/2 = 50
          – pour quitter 3… 33,3

          – pour quitter 9… 11,1

  6. MrV dit :

    Génial! C’est une propriété qui n’est pas du tout intuitive et j’ai mal à la tête rien qu’à essayer de chercher un début d’explications (je sais pourquoi je n’aimais pas les maths au lycée!)
    Le pauvre chef d’entreprise qui tente de frauder dans ses bilans comptables ne doit pas comprendre ce qui lui arrive quand un contrôle fiscale lui tombe sur le coin de la gueule! (et il se demandera surement toute sa vie pourquoi, ô oui pourquoi c’est justement son entreprise qui s’est fait contrôler!) Eh oui, qui penserait que les mathématiques pourraient trahir notre malhonnêteté?

  7. K. Dick dit :

    Totalement fou, totalement contre-intuitif!

    J’ai beau me triturer le cerveau dans tous les sens je n’arrive pas à comprendre POURQUOI cette règle est vérifiée!
    Puisque la liste des nombres est aléatoire, le premier chiffre de chaque nombre est lui aussi aléatoire, donc POURQUOI le 1 sort-il 6 fois plus souvent que le 9???

    Je ne peux que faire confiance aux esprits plus brillants que moi qui l’ont démontré, mais quand même, CA M’ENERVE!!!!

  8. Eurosix dit :

    Après deux ans de réflexions pour chercher à comprendre, je jette ma craie et replie les volets de mon tableau vert (non, pas noir, on est moderne !) Ensuite, on se plonge dans la mythologie ou dans l’histoire des Pharaons. Et enfin, on respire le plus calmement du monde… !! (et surtout, on oublie…)

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