Les paradoxes de Zénon : saurez-vous les résoudre ?

C'est qui ce Zénon ?

Zénon d'Élée est un très très vieux philosophe grec du Vè siècle avant Jésus-Christ. Il est surtout connu pour avoir fondé une école philosophique, les Éléates, et pour avoir formulé des paradoxes qui vont vous paraître certainement très idiots au premier abord (si, si), leur complexité ne se dévoilant qu'en deuxième ou troisième lecture.

Le premier paradoxe

Zénon imagine la course entre Achille, le héros de la guerre de Troie réputé être l'homme les plus rapide au monde, et une tortue. La tortue part quelques mètres devant Achille, et celui-ci doit courir pour tenter de la rejoindre.
C'est pas trop dur, de rattraper une tortue, pensez-vous certainement. Surtout quand on est un champion de a course à pied. Mais détrompez-vous... car Zénon considère qu'il est IMPOSSIBLE pour Achille de la rattraper ! N'importe quoi ? Pas si sûr...

Le raisonnement de Zénon est le suivant : Achille devra dans un premier temps atteindre le point sur lequel la tortue a commencé la course. Mais pendant ce temps, la tortue aura elle-même avancé. Achille devra donc une fois de plus atteindre ce nouveau point, temps durant lequel la tortue aura encore avancé... et ainsi de suite. Ainsi, il se rapprochera infiniment de la tortue sans jamais parvenir à l'atteindre...

Bizarre ? Attendons encore un peu avant d'y voir plus clair.

Le deuxième paradoxe

Il ressemble assez au premier. Cette fois, Zénon raisonne avec une flèche qui est tirée vers une cible. Avant d'atteindre la cible, la flèche va parcourir la moitié de la distance entre l'archer et la cible. Une fois cet endroit atteint, elle devra de nouveau atteindre le point situé à la moitié de la moitié de la distance... et ainsi de suite, à l'infini ! La flèche rentre dans une boucle paradoxale infinie et est condamnée à s'approcher de sa cible sans jamais pouvoir l'atteindre.

"Ils sont complètement débiles ces philosophes !", fulminez-vous derrière votre écran (ne mentez pas, je vous entends d'ici). La flèche va évidemment finir par se planter dans la cible, tout le monde le sait.

Vous savez quoi ?

Vous avez tout à fait raison. C'est d'ailleurs ce que Diogène, le cynique, va lui rétorquer. Vous savez, ce même Diogène qui vivait dans un tonneau (en fait, une jarre) dans un dénuement total.

Bon. On pourrait s'arrêter là et considérer que Zénon d'Élée est un farfelu qui voulait faire son intéressant. Ce serait une grave erreur... Le philosophe n'est pas un imbécile et il a bien conscience qu'Achille va finir par rejoindre la tortue ou la flèche sa cible. Mais ces petites illustrations lui servent à illustrer sa théorie sur l'infinité, et sur la distinction entre mouvement et réalité... D'où le nom de "paradoxe" qu'il évoque.

Si vous-mêmes vous ne parvenez pas bien à comprendre ce qui cloche dans le raisonnement de Zénon, ne vous inquiétez pas, c'est normal ! Il faudra attendre des millénaires pour résoudre mathématiquement ce paradoxe qui semble pourtant enfantin : il faut attendre le XIXe siècle pour que les mathématiciens comprennent enfin la notion de suite convergente.

Les suites convergentes

Pour bien comprendre le concept, tentez de répondre à ce petit problème mathématique :

Prenez un bâton de cinquante centimètres de long que vous placez verticalement. Empilez dessus un autre bâton deux fois moins long. Puis, sur ce deuxième bâton, placez-en un troisième deux fois moins long que le deuxième. Puis un quatrième bâton deux fois plus petit que le troisième, etc, etc. Reproduisez ce processus une infinité de fois...
Question : Quelle sera la hauteur finale de votre structure ?

Un premier bâton de 50 cm, un deuxième de 25 cm, un troisième de 12,5 cm, un quatrième de 6.25 cm... C'est exactement le même cas de figure qu'Achille qui court après la tortue, ou de la flèche qui peine à atteindre son cible...

Le problème revient à calculer la somme :
50 + 25 + 12 + 6.25 + 3.125 + etc. = ???

En général, la première réponse qui nous vient en tête est que, puisqu'on empile (ou qu'on additionne) une infinité de bâtons les uns sur les autres, la structure est forcément infiniment grande. Eh bien non, perdu. Le raisonnement à tenir est plus complexe, car les éléments empilés deviennent eux-mêmes infiniment petits...

En fait, le résultat de cette question est loin d'être intuitif. La structure finale mesurera... [Roulements de tambour] ... exactement 1 mètre de haut !

Eh oui, quand on ajoute une infinité d'éléments qui deviennent infiniment petits, nous sommes en présence de deux infinités qui se confrontent et qui s'opposent. Cette "confrontation" aboutit, dans certains cas comme celui de notre petit problème, à une convergence vers un nombre précis.

(si vous avez envie de vous triturer les méninges avec le concept d'infinité, allez donc lire l'article sur les hotels de Hilbert... Aspirine recommandée !)

En mathématiques, ce procédé d'empilement s'appelle une suite et, ici, on dirait que le résultat de la suite converge vers 1. Additionner une infinité d'éléments peut donc aboutir à un résultat fini. C'est cette notion mathématique qui manque aux philosophes grecs pour comprendre et résoudre les paradoxes de Zénon. Mais chapeau tout de même à ce dernier pour avoir touché du doigt par la seule force de son raisonnement un concept mathématique qui sera développé presque 2.500 ans plus tard...