On raconte qu'encore écolier, le petit Carl Gauss mit en échec son instituteur d'une bien surprenante façon1...
Pour ramener l'ordre dans sa classe, l'instituteur demanda à ses élèves d'additionner tous les nombres de 1 à 100. "Voilà de quoi les occuper un petit moment !" pensa-t-il joyeusement. Alors que tous les enfants commençaient à s'emparer de leur ardoise pour réaliser les premières opérations, Carl Gauss leva le doigt. Suspicieux (le gamin n'était pas à son coup d'essai), l'instituteur lui donna la parole2.
- 5050, M'sieur.
Tous les élèves levèrent le nez d'un air incrédule, attendant la réaction de leur professeur.
- Pardon ?
Le petit Gauss n'était pas bien à l'aise de prendre ainsi la parole devant tout le monde, mais il était certain du résultat. Ah ça oui, alors. Aussi certain que deux plus deux font quatre. D'une voix tremblante, il répéta : "5050, M'sieur..."
L'instituteur haussa la voix :
- Et comment pouvez-vous donner un tel résultat alors que vous n'avez même pas encore commencé à compter, je vous prie ?
Sans se démonter, le petit Gauss se racla la gorge, essuya une goutte de transpiration qui commençait à perler sur sa tempe et poursuivit :
- Eh bien... il suffit de regrouper par paires tous les termes de l'addition... Cent plus un font cent un. Quatre-vingt-dix-neuf plus deux font aussi cent un. Quatre-vingt-dix-huit plus trois font encore cent un. Cent un, toujours cent un3.
L'instituteur blêmit. Comment n'avait-il jamais pensé à cela lui-même ?
Carl Gauss poursuivit...
- Il y a cent nombres à additionner, soit cinquante paires. On doit donc renouveler cette opération cinquante fois... Ainsi, calculer la somme des nombres de 1 à 100 revient à réaliser l'opération 50 x 101... qui donne 50504.
Face au silence de plomb qui s'installa dans la salle de classe, le rouge commença à monter au front de l'enfant qui n'avait pas encore bien l'habitude d'être au centre de l'attention.
L'histoire ne nous dit pas comment réagit l'instituteur. D'ailleurs, il est fort probable que tout ceci relève de la simple légende...
Mais, ce qui est avéré, c'est que l'instituteur, un certain Büttner, fut réellement impressionné par les capacités de son jeune élève et aida Carl Gauss à poursuivre ses études5.
Durant toute sa vie, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fera avancer les mathématiques à pas de géant6. "Le Prince des mathématiciens", comme on le surnomme encore aujourd'hui, était peut-être bien un Roi...
Notes
- Ce récit est une reconstitution narrative. Sartorius von Waltershausen rapporte l’anecdote dans son hommage à Gauss paru en 1856 ; les répliques et les gestes décrits ici ne sont pas un compte rendu de classe. Gauss entra à l’école à sept ans en 1784, mais l’épisode du calcul est situé vers 1786, donc vers neuf ans, par l’historien Maarten Bullynck.↩ Retour au texte
- À Brunswick, l’école de Gauss appartenait à une tradition d’enseignement de l’écriture et du calcul soutenue par les ducs. Le manuel de Christian Stephan Remer, paru en 1737, comportait déjà une règle pour additionner les progressions arithmétiques. Bullynck envisage que Gauss ait pu y rencontrer ce procédé : c’est une hypothèse sur sa formation, pas la preuve de ce qu’il pensa ce jour-là.↩ Retour au texte
- Les couples vont de 1 + 100 à 50 + 51. Chaque déplacement augmente le petit nombre d’une unité et diminue le grand d’autant : leur somme reste donc 101. Autre lecture du calcul : la moyenne des nombres de 1 à 100 vaut 50,5 ; cent fois cette moyenne donne également 5050.↩ Retour au texte
- La formule générale est 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Elle reste valable si n est impair : écrire la somme une fois dans l’ordre croissant et une fois dans l’ordre décroissant donne n colonnes de total n + 1. On a compté deux fois la somme cherchée, d’où la division par deux.↩ Retour au texte
- Le soutien scolaire et le financement ducal sont deux étapes distinctes. Büttner et son assistant Martin Bartels favorisèrent la poursuite des études de Gauss ; Zimmermann intervint ensuite auprès de la cour. L’allocation du duc Charles-Guillaume-Ferdinand lui permit d’étudier au Collegium Carolinum à partir de 1792, puis à Göttingen. Il ne s’agissait donc pas simplement d’une bourse attribuée en récompense de cette addition.↩ Retour au texte
- Le 30 mars 1796, avant ses dix-neuf ans, Gauss découvre que le polygone régulier à dix-sept côtés peut être construit à la règle et au compas. Ses Disquisitiones arithmeticae, publiées en 1801, donneront à cette découverte sa place dans une théorie de la division du cercle. La même année, ses calculs contribuent à retrouver Cérès, perdue de vue après sa découverte par Piazzi.↩ Retour au texte
Multiplier (100+1) par 50, ou diviser (101+1) par 2 pour ensuite multiplier par 100...
Pouvez-vous m'expliquer en quoi c'est plus rapide?
Mon fils a trouvé cette solution en 10 min, quasiment de tête, à 7 ans.
Gauss c'était à 10 ans et avec des calculs plus compliqués...
1+2+3+..+9=45
pour 11+12+13+...+19, c'est 1+2+3+...+9 avec 10+10+10+...+10
donc 45X10=450
et après on calcule 10+10+10+...+10 et 20+20+20+...+20 en croisant
10+20+30+...+90=450
450X10=4500
4500+450=4950
et il suffit d'ajouter 100 : 4950+100=5050.
La méthode de mon fils est plus pertinente que celle de Gauss.